Lascienza demografica: da Malthus all'equazione logistica

Riprendo un tema già trattato in un post precedente (Le treccine di Greta e il metodo scientifico) sul quale ha detto la sua anche l'ottimo Leonardo Mazzei (CLIMA 3: NESSUNA CATASTROFE IN VISTA) per inquadrarlo nel contesto più ampio delle narrazioni fondate sul nulla scientifico che vengono imposte come verità indiscutibili perché sono funzionali ai progetti politici di una delle due polarità della dialettica dominanti-dominati... che non è quella dei dominati.

Una premessa di metodo: non tutto quello che fa parte della narrazione dei dominanti è basato sul nulla scientifico, perché è ovvio che ci sono argomenti ben fondati che essi, ovviamente, sostengono con forza, ma il fatto è che questi non bastano per le loro pretese, per cui devono letteralmente inventarsene altri. E siccome su questo blog scrive uno che ha fiducia nella forza del metodo scientifico che, per definizione, è basato sul dubbio e sull'allergia per gli enunciati apodittico-razionalisti, qui si ha l'abitudine di esaminare i fatti e le teorie. Per giungere, quando ogni ragionevole dubbio è dissipato, ad una conclusione (tuttavia sempre parziale e momentanea) oppure a respingere con somma decisione le narrazioni basate, come già detto, sul nulla scientifico.

Una di queste narrazioni è il cosiddetto modello malthusiano, il quale prospetta scenari catastrofici in base al fatto che la dinamica demografica segue la legge esponenziale mentre le risorse disponibili crescono, al più, con legge lineare. Il modello di Malthus, o esponenziale, si traduce nella seguente equazione differenziale:



dove i parametri α e β sono non negativi e rappresentano, rispettivamente, il numero di nuovi nati per individuo e la frazione di individui che muore nell'unità di tempo.

Posto γ=α-β il potenziale biologico della popolazione, l’equazione si scrive:



La cui soluzione, se γ è maggiore di 0, tende all'infinito con legge esponenziale. Secondo Malthus già entro la fine del XIX secolo si sarebbe verificata una catastrofe demografica. Il modello di Malthus, sebbene sia chiaramente una semplificazione eccessiva, e benché smentito dai fatti nella sua applicazione alla realtà demografica, è tuttavia entrato nella psicologia di massa, anche perché non vi è occasione in cui, parlando di demografia, la possente voce del main stream non usi la parola "esponenziale". Ora è vero che qualsiasi fenomeno che segua la legge di crescita esponenziale è destinato ad una catastrofe, ma quello che non viene a sufficienza spiegato è che il fatto che un processo reale sia modellabile in tal modo è una caratteristica che viene sempre rilevata ex-post, estrapolando un breve e parziale tratto della dinamica e assumendo, da ciò, che la realtà sottostante sia descritta da un modello la cui soluzione sia di tipo esponenziale. Il che è falso perché, lo sappiamo bene, Natura non facit saltus. In altri termini, poiché una dinamica esponenziale è matematicamente disastrosa, ne segue che la realtà se ne impippa dei modelli esponenziali, in particolare la realtà biologica. Quello che, invece, è un vero problema, sono le discontinuità dei processi, le quali però non derivano dal fatto che la realtà sia modellabile con modelli esponenziali, bensì con modelli non lineari. I quali sono matematicamente difficili da maneggiare e nascondono punti critici che sfuggono alla nostra capacità di calcolo e previsione.

Un esempio ci è fornito da un affinamento del modello malthusiano, nel quale si considera l'ovvia circostanza per cui il potenziale biologico di una popolazione (γ) non è costante, ma dipende dalla popolazione stessa e dal suo rapporto con le risorse dell'ambiente. Si tratta del modello di Verhulst, che assume come ipotesi che ad alte densità un aumento della popolazione produce un incremento della mortalità e una diminuzione della fertilità. Cioè, in altri termini, che γ decresce al crescere della popolazione. Il modello di Verhulst conduce a questa equazione:



nella quale k=(α-β)/(α+β) è un parametro chiamato capacità portante dell’ambiente, mentre la differenza γ=α-β è il già visto potenziale biologico della popolazione. La soluzione è:



Quando γ è non negativo si ha:



Tutto bene dunque? Non proprio, perché questo modello si basa su un assunto sbagliato, ovvero che la funzione N(t) sia continua a tratti, il che non è matematicamente vero. Per aggirare il problema si può costruire un modello puramente numerico. Dopo qualche passaggio e qualche sostituzione di variabile si giunge a questa espressione:



nella quale il parametro r è un numero positivo che rappresenta il tasso combinato tra la riproduzione e la mortalità. Ora la trattazione di questo modello numerico presenta delle sorprese perché, per valori piccoli di r, la successione converge a un limite, mentre al crescere di esso la successione comincia a presentare un comportamento di tipo caotico.

Ma allora qual è il modello corretto? Certo non quello malthusiano, ma nemmeno la sua alternativa logistica sembra reggere ad una critica severa. Per uscire dall'impasse servirebbe una verifica empirica ma questa, nell'ambito delle scienze sociali, è impossibile. Questa circostanza segna un confine netto e invalicabile tra le scienze cosiddette dure e tutte le altre, perché l'impossibilità di costruire una relazione circolare e reciproca tra la modellazione matematica e i dati sperimentali espone queste ultime all'arbitrio, il quale è per definizione prerogativa di chi ha il potere di decidere.

Peraltro, sebbene i dati più recenti sembrino smentire l'ipotesi malthusiana, nemmeno possono rassicurarci sul fatto che la dinamica demografica possa essere modellata con l'equazione logistica (o altra equazione più raffinata) sia perché i parametri che tengono conto dei tassi di natalità e mortalità sono variabili, imprevedibili, e funzione a loro volta di una miriade di circostanze, sia perché lo stesso è vero per la capacità portante dell'ambiente. Quanto esposto per la demografia vale per tutte le scienze sociali, ad esempio l'economia, ma può essere esteso alla climatologia, alla sociologia e in generale a tutte le discipline che si occupano di sistemi complessi per i quali è impossibile applicare il vero metodo scientifico che consiste nella verifica sperimentale dei modelli costruiti per via deduttiva. Il vero unico metodo scientifico è induttivo-deduttivo, oppure non è tale. Questo dovrebbe essere chiaro e lampante a tutti ma, ahimè, così non è, perché la gran massa delle persone, abbacinate dai progressi della tecnologia, hanno finito con lo sviluppare una fiducia infantile nei confronti del metodo scientifico, già di per sé stesso imperfetto, estendendola a una molteplicità di situazioni nelle quali parlare di "metodo scientifico" è una pura corbelleria.

Un caso di scuola è rappresentato dalle cosiddette verità scientifiche nel campo delle vaccinazioni, in cui si assiste ad uno spettacolo pietoso tra quanti sostengono che queste avrebbero salvato il mondo da tragici disastri e quelli che negano questa circostanza. A prescindere da chi abbia ragione, perché esistono evidenze sperimentali che avvalorano l'una e l'altra tesi, mi sembra evidente come anche in questo caso non si possa parlare di "metodo scientifico", e chi lo nega è sicuramente in malafede. E' sotto gli occhi di tutti che le epidemia sono comparse e improvvisamente scomparse, con cicli talvolta secolari, sia in presenza che in assenza di profilassi.

Ma se il metodo scientifico è applicabile solo in situazioni ben definite e tutto sommato limitate rispetto all'immensità della realtà nella quale siamo immersi, e sia pure con risultati straordinari quando è stato possibile utilizzarlo, in tutti gli altri casi in cui ciò non è possibile - che sono la maggioranza - quali strumenti sono a disposizione dell'uomo?

La mia risposta, che pure è quella di un uomo che conosce il metodo scientifico e in esso ripone fiducia, è molto semplice: la magia.

Con una precisazione, che sia di avvertimento: la magia è lo strumento per eccellenza del dominio dell'uomo sull'uomo. L'uomo contemporaneo, a sua insaputa, è circondato dalla magia che scambia, per ignoranza, con il metodo scientifico, ed è giusto che sia così. Altrimenti che magia sarebbe?